曼德勃羅特集是一個幾何圖形，曾被稱為“上帝的指紋”。 這個點集均出自公式:Zn+1=(Zn)^2+C，對於非線性迭代公式Zn+1=(Zn)^2+C，所有使得無限迭代後的結果能保持有限數值的複數z的集合(也稱該迭代函數的Julia集)連通的c，構成曼德勃羅集。 [1] 它是曼德勃羅教授在二十世紀七十年代發現的。
只要計算的點足夠多，不管把圖案放大多少倍，都能顯示出更加複雜的局部，這些局部既與整體不同，又有某種相似的地方。圖案具有無窮無盡的細節和自相似性。如圖2所示形產生過程，其中後一個圖均是前一個圖的某一局部放大：
圖形是由美國數學家曼徳勃羅教授於1975年夏天一個夜晚，在冥思苦想之餘翻看兒子的拉丁文字典時想到的，起拉丁文的原意是“產生無規則的碎片”。曼德勃羅教授稱此為"魔鬼的聚合物"。為此，曼德勃羅在1988年獲得了"科學行為藝術大獎".曼德勃羅集_百度百科 https://bit.ly/3O84qne
造物主的登峰造極之作“曼德勃羅特集分形，揭示宇宙的秩序，被稱為上帝的指紋#混沌理論#理論物理#分形幾何#科普#漲知識 | TikTok
造物主的登峰造極之作“曼德勃羅特集分形，揭示宇宙的秩序，被稱為上帝的指紋#混沌理論#理論物理#分形幾何#科普#漲知識 | TikTok
造物主的登峰造極之作“曼德勃羅特集分形”，揭示宇宙的秩序，被稱為上帝的指紋
曼德博集合（英語：Mandelbrot set，或譯為曼德布洛特複數集合）是一種在複數平面上組成碎形的點的集合，以數學家本華·曼德博的名字命名。曼德博集合與朱利亞集合有些相似的地方，例如使用相同的複二次多項式來進行疊代。曼德博集合 - 維基百科，自由的百科全書 https://bit.ly/3HoAjo7
曼德布洛特集的圖像展示了一條無比精緻又無限複雜的分界線，將其不斷的放大，就可看到更加精密的、基於遞歸的細節部分。也就是說，曼德布洛特集的分界線是一條分形曲線。重複出現的細部「樣式」由所觀測的集合區域決定。曼德布洛特集合的分界線上也包含了集合整體形狀的較小版本，因此自相似性的分形特性不僅適用於該集合的局部，也適用於整個集合。
因為曼德布洛特集的圖像在美學上擁有獨特的吸引力，並且還是一個根據簡單規則產生複雜結構的代表性例子，這使得曼德布洛特集在數學之外的其他領域中也十分流行。它也是數學視覺化和表現數學之美的最著名例子之一。曼德爾洛特集起源於20世紀初由法國數學家皮埃爾費托Pierre Fatou和加斯頓茱莉亞Gaston Julia首先研究的複雜動力學。首次確切定義分形，並繪製出可視化的分形圖案得益於羅伯特·W·布魯克斯Robert W. Brooks和彼得·馬特爾斯基Peter Matelski在1978年對克萊尼群Kleinian Groups的部分研究工作。[2] 在此基礎上，1980年3月1日，在位於紐約的約克敦海茨Yorktown Heights的IBM的湯瑪士·Ｊ·華生研究中心 Thomas J. Watson Research Center，伯努·瓦曼德布洛特Benoît B. Mandelbrot首次繪製出曼德布洛特集的視覺化圖形。[3]且Benoît B. Mandelbrot在1980年發表了一篇關於二次多項式的參數空間Parameter Space的研究論文。曼德布洛特集Mandelbrot set - 集智百科- 複雜系統|人工智慧|複雜科學|複雜網路|自組織 https://bit.ly/3Sqp5pd
----------------------
曼德勃羅（Mandelbrot）集合與其程式實現
一、從科赫雪花談起
設想一個邊長為1的等邊三角形（例如以下圖所看到的）。取每邊中間的三分之中的一個，接上去一個形狀全然類似的但邊長為其三分之中的一個的三角形，結果是一個六角形。如今取六角形的每個邊做相同的變換，即在中間三分之中的一個接上更小的三角形，以此反复，直至無窮。
外界的變得原來越細微曲折，形狀接近理想化的雪花。
這個圖形的名字叫柯赫雪花。
1904年，瑞典數學家柯赫首次描寫敘述了一種後來以其名字命名的曲線——柯赫曲線，而柯赫雪花就是由柯赫曲線所圍成的一個封閉的圖形。
柯赫雪花有非常多奇怪的性質。
比如。柯赫雪花的周長趨於無窮。而柯赫雪花的面積卻是有限的！此外，柯赫雪花也體現了一種（遞歸的）自類似性，即當把圖形的局部放大。它會呈現出一種與總體（或總體的部分）之間的驚人形似性。
二、分形
雖然類似柯赫雪花這種自類似圖形早已經出現。可是真正把這些問題有系統地發展成一門學問，則是在二十世紀下半頁。數學家本華·曼德勃羅（Benoit B. Mandelbrot）把這些部分與總體以某種方式類似的形體稱為分形（fractal）。1975年，他創立了分形幾何學（Fractal Geometry）。
在此基礎上。形成了研究分形性質及其應用的科學，稱為分形理論（Fractal Theory）。因此，曼德勃羅也被稱為「分形學之父」。如今。分形理論發展成一門十分風靡、活躍的新理論、新學科，特別是把分形理論和混沌理論結合之後，更是衍生出一大片廣闊的研究天地。分形的世界與我們尋常所研究的幾何學中非常多直觀的常識之間具有巨大的衝突。例如，尋常我們說一個幾何圖形的維度，那麼這個維度一般都應該是整數。例如平面上一個矩形就是二維的，空間中一個球體就是三維的。可是在分析幾何中。幾何圖形的維度都是不是整數而是分數。這個維度又稱為豪斯多夫維或豪斯多夫-貝塞科維奇維（Hausdorff-Becikovich Dimesion），它是由數學家豪斯多夫於1918年引入的。
透過豪斯多夫維能夠給一個隨意複雜的點集合比方分形賦予一個維度。
三、曼德勃羅集合（Mandelbrot Set）
曼德勃羅集合（Mandelbrot Set）或曼德勃羅複數集合。是一種在複平面上組成分形的點的集合，因由曼德勃羅提出而得名。曼德博集合能夠使復二次多項式進行迭代來獲得。
當中，c是復參數。對於每個c。從z = 0 開始對f c ( z )進行迭代。序列的值或延伸到無限大，或僅停留在有限半徑的圓盤內（這與不同的參數c有關）。曼德布洛特集合就是使以上序列不延伸至無限大的全部c點的集合。曼德勃羅（Mandelbrot）集合與其編程實現- llguanli - 博客園 https://bit.ly/3tPcUZS
(75) 萬物密碼，神秘圖形揭示宇宙法則，生命也許是某種大能的奇特分身 l 老鳴TV - YouTube
(75) 萬物密碼，神秘圖形揭示宇宙法則，生命也許是某種大能的奇特分身 l 老鳴TV - YouTube
本華·曼德博（法語：Benoît B. Mandelbrot，1924年11月20日—2010年10月14日[1]）又譯伯努瓦·曼德勃羅、曼德布洛特，生於波蘭華沙，法國、美國數學家。幼年隨全家移居法國巴黎，大半生均在美國度過，擁有法國和美國的雙重國籍。曼德博的研究範圍廣泛，從數學物理到金融數學，但他最大的成就則是創立了分形幾何。他創造了「碎形」這個名詞，並且描述了曼德博集合。他也致力於向大眾介紹自己的理論，通過面向普通公眾的著作和演講，使他的研究成果廣為人知。
本華·曼德博是他所用的中文名，在他的耶魯大學個人網頁首頁可以見到。[2]本華·曼德博 - 維基百科，自由的百科全書 https://bit.ly/3vHZyz3
早年生活
1924年，曼德博生於波蘭華沙的一個猶太人家庭[3]。他們家有著濃厚的學術氣氛，母親是一位牙科醫生，父親則是一名服裝商人，而曼德博的數學啟蒙則是得益於他的數學家叔叔，居於巴黎的佐列姆·芒德勃羅伊（Szolem Mandelbrojt）[4]。1936年，曼德博11歲時，因納粹德國對猶太人的威脅日益加劇，隨全家移居法國巴黎[5]。曼德博就讀於巴黎 Rolin 中學，第二次世界大戰爆發後，全家再次逃往法國蒂勒。在那裡，他受到了居於布里夫拉蓋亞爾德的拉比 David Feuerwerker 的資助，得以繼續他的學業。1944年，曼德博一家回到了巴黎。他在里昂的昂勒帕克中學學習了一段時間之後，於1945年考取了巴黎綜合理工學院，於數學家加斯頓·儒利雅和保羅·皮埃爾·萊維門下學習。1947年曼德博來到加州理工學院，並於1949年獲得航空學碩士學位[6]。曼德博回到法國後，於1952年在巴黎大學獲得數學科學博士學位[4]。
1949年到1958年間，曼德博供職於法國國家科學研究中心，在這期間，受約翰·馮·紐曼邀請，在新澤西州普林斯頓的普林斯頓高等研究院訪問了一年時間。1955年，他與阿雷特·卡甘結婚，並遷居到瑞士日內瓦，之後則於里爾大學工作[7]。1958年，曼德博夫婦移居美國，進入了位於紐約州約克鎮的 IBM 公司托馬斯·J·華生研究中心[7]。他在 IBM 公司擔任 IBM 研究員長達35年之久，並於之後成為了榮譽研究員[4]。
學術生涯
曼德博於2007年演講時拍攝
1951年後，曼德博的研究範圍不僅限於數學理論，更擴充到了資訊理論、經濟學、流體力學等應用領域。他堅信，重尾現象和自相似性結構作為兩大關鍵詞，能夠解決這些領域中的很多問題。
曼德博發現，金融市場中的價格分布並不服從常態分布，而是服從理論上方差無窮大的穩定分布：例如，相對於
本華·曼德博 - 維基百科，自由的百科全書 https://bit.ly/3vHZyz3
{\displaystyle \alpha =1.7}的穩定分布。「穩定」分布的性質之一就是n個服從穩定分布的獨立同分布的隨機變數之和服從尺度參數更大的穩定分布[8]。
曼德博對宇宙學領域亦有貢獻。1974年，他從碎形學角度提出了奧伯斯佯謬（夜黑佯謬）的一種新的充分但不必要的解釋。他認為，假定宇宙中恆星的分布是分形集（如康托塵埃），那麼奧伯斯佯謬的解釋就不必依賴大爆炸理論。他的模型沒有把大爆炸理論完全排除在外，但即使大爆炸沒有發生過，仍然可以解釋夜黑現象[9]。
1975年，曼德博提出了「碎形」一詞用於描述這類結構，並在著作《碎形學：形態，概率和維度》（原書《Les objets fractals, forme, hasard et dimension》，1975年出版；英譯本《Fractals: Form, Chance and Dimension》，1977年出版）[10]闡述了他的觀點，同時發展了捷克地理學家、人口學家、統計學家Jaromír Korčák在1938年發表的論文《兩種類型的統計分布》（原文《Deux types fondamentaux de distribution statistique》，英譯版《Two Basic Types of Statistical Distribution》）[11]中的思想。
曼德博集合及其軌道周期性。
1979年，在哈佛大學作為訪問學者的期間，曼德博開始研究碎形集之一——在複平面上一定變換下具有不變性的朱利亞集合。在加斯頓·朱利亞和皮埃爾·法圖學術成果的基礎上，曼德博利用公式
本華·曼德博 - 維基百科，自由的百科全書 https://bit.ly/3vHZyz3
1982年，曼德博在《大自然的碎形幾何學》一書中發展並更新了他的理論[12]。此書影響巨大，不但使碎形幾何學得以進入主流數學研究範疇，而且深受業餘讀者的歡迎，更使得之前視碎形學為「人工製造」的批評界啞口無言。
2006年曼德博在巴黎綜合理工學院的演講中講解曼德博集合
1987年，曼德博離開了工作35年又12天的IBM——因為公司決定停止他所在部門的純理論研究[13]。隨後他去了耶魯大學，並於1999年獲得了他的第一個終身教職，時年75歲[14]。2005年退休時，曼德博已經是耶魯大學的斯特林數學教授。
碎形學和規則粗糙性
雖然曼德博提出了碎形這個新名詞，然而在他的《大自然的碎形幾何學》問世之前，就曾有其他數學家對其中引進的一些數學對象做過描述：它們被認為是稀有的、奇特的，與彼時存在的學術領域幾乎沒什麼聯絡，且具有非自然、非本能的特性。曼德博前無古人地分析了這些現象的共同性質——比如自相似性（線性，非線性，抑或統計學意義上的），尺度不變性，以及（通常的）非整數豪斯多夫維數——將它們聚為同類並抽象為可用的基本工具，從而大大拓寬了科學理論對「不光滑」的真實世界的應用。
曼德博還強調了碎形思想可用於構造實際可行的模型，來類比真實世界中的很多「粗糙的」現象。自然界中的分形集有山脈，海岸線，河流流域的形狀；植物，血管和肺部的結構；星系團；還有布朗運動。碎形幾何在人類藝術和娛樂中亦有出現，如音樂，藝術，建築和股票市場的價格走勢。曼德博相信，碎形幾何不但不是非自然的，相反在很多方面都比人類創造出的歐氏幾何中各種光滑的研究對象更加直觀和自然：
雲不是球體，山不是圓錐體，海岸線不是圓，樹皮不是光滑的，閃電傳播的路徑也不是直線。
—曼德博，《大自然的碎形幾何學》緒論
曼德博曾被視為一個空想家[15]和標新立異者[16]。他不拘形式熱情洋溢的文風以及對視覺和幾何直觀的看重（大量插圖的使用）使得《大自然的碎形幾何學》對於非專業讀者也有相當可讀性。這本書廣泛激發了人們對碎形學的興趣，同時對混沌理論以及科學和數學的其他領域也有貢獻。
逝世
2010年10月14日，曼德博因胰腺癌在麻薩諸塞州劍橋的臨終病人安養所逝世，享年85歲[17][18]。他離世之後，數學家海因茨·奧托·佩特根說：「如果要論對數學和科學應用的影響，曼德博實在是50年內最重要的人物之一。」[18]克里斯·安德森稱他為「改變人類對世界認識的里程碑式人物」[19]。法國總統薩科齊稱曼德博具有「從不被革新性的、驚世駭俗的猜想所嚇退的強大而富有獨創性的頭腦」。薩科齊還說，「他的研究完全在主流領域之外發展，卻形成了現代資訊理論的雛形」[20]。經濟學人所發曼德博的訃告指出，他是一位「超越學術界的名人」，並將他譽為「碎形學之父」本華·曼德博 - 維基百科，自由的百科全書 https://bit.ly/3vHZyz3
曼荼羅，佛教用語。mandala，意思是：時間記錄了一切 @ 姜朝鳳宗族 :: 痞客邦 ::
留言列表
